趣味も知識の偏りも異なる12人の友人が集まり、クイズ大会のために実力が伯仲する2チームに分かれようとしています。張さんは歴史と地理に詳しく、李さんはポップミュージックと映画が得意で、王さんはスポーツと料理に長けています。すべてのジャンルで両チームを互角にしようとすると、組み分け作業はすぐに手詰まりに陥ります。歴史のスコアを揃えるために張さんをAチームに移動させると、Aチームの地理の戦力が一気に跳ね上がり、今度は地理の次元で再び不均衡が生じてしまうのです。
一見すると日常的なチーム分けの悩みに思えるこの問題は、数学では「組合せ偏差理論（combinatorial discrepancy theory：多様な特徴を持つ対象を2つのグループに分配し、グループ間の差異をできる限り最小化する方法を研究する数学の一分野）」に分類されます。中古車取引において2つの販売店に車種やボディカラーを均等に割り当てる場合でも、臨床試験で治療薬投与群とプラセボ群に患者を均等に割り振る場合でも、多次元の特徴が関わる組み分けでは、特徴の数が増えるにつれて難易度が爆発的に跳ね上がります。
長年にわたり、数学者たちはこの「グループ分けの不平衡度」に関する理論的限界を探求してきました。2025年秋、計算機科学者のニキル・バンサル（Nikhil Bansal）とジアン・ハオティエン（Haotian Jiang：姜浩天）は革新的なアルゴリズムを提案し、約30年間破られなかった不平衡度の上限を大幅に削減しました。本研究は、膨大な特徴量や巨大な集団を前にしても、ほぼ完璧な均衡分配が可能であることを証明しています。
なぜ「均等なグループ分け」は数学者を数十年間悩ませてきたのか
日常の暮らしにおいて、単一の属性を持つ対象を分配することは非常に簡単です。手元に同じ大きさのケーキが100個あれば、2つに分けて50個ずつにすれば完璧な均衡が達成できます。しかし、現実に分配する対象は、ほぼ例外なく複数の属性が同時に重なり合っています。
中古車販売店の割り当てシナリオを例にとると、卸売される車両にはボディカラーだけでなく、車種や走行距離といった異なる属性が存在します。単に総数だけで半々に分けると、一方の店舗にはオープンカーばかりが偏り、もう一方の店舗には赤のセダンばかりが集まってしまう事態が起こり得ます。どちらの販売店も各指標を可能な限り揃えたいと望みますが、あらゆる属性が分配案をそれぞれの方向へ引っ張り合います。
医学的治験においては、この引っ張り合いの構造がさらに強固になります。研究者は被験者を治療群と対照群に分ける際、年齢分布を揃えるだけでなく、血圧、持病、生活習慣の割合も近づけなければなりません。いずれかひとつの次元で深刻な偏りが生じれば、治験データ全体の説得力が失われかねません。これらの複雑に絡み合った特徴属性こそが、数学者の前に立ちはだかる極めて厄介な「盤上の綱引き」なのです。
「若気の至り」と自嘲された数学上の予想
分配の限界を理論的に解明するため、ハンガリーの数学者ヤノシュ・コムローシュ（János Komlós）は1980年代前半、有名な「Komlós予想」を提唱しました。彼は、分配対象がいくら存在しようと、また各対象にどれほど多くの特徴次元が付随していようと、すべての特徴における両グループ間の最大数値差（＝偏差、discrepancy：組み分け後に特定属性で生じる差）が、ある単一の固定定数を超えないような分配案が必ず存在する、と推測したのです。
コムローシュ本人は後年、当時の自分は若く無鉄砲だったからこそこの予想を立てられたのだと冗談めかして語っています。当時は有効な数学的ツールが不足しており、対象数に依存しない定数の上限を証明することは極めて困難だったため、彼は自らこの提案を「無責任な予想」とさえ呼んでいました。
学術界全体はその後、数十年間にわたる長いリレーを展開しました。1985年、数学者ジョエル・スペンサー（Joel Spencer）は偏差が要素数Nの対数log N以内に収まることを証明し、1998年にはヴォイチェフ・バナシュチク（Wojciech Banaszczyk）がその上限をlog Nの平方根（√log N）まで改善しました。しかしそれ以来、数学界はこの記録の前に30年近く停滞し、多くの研究者がこの限界はもはや破れないのではないかと疑い始めていました。
わずか1週間の訪問から生まれたアルゴリズムの突破口
転機が訪れたのは2025年2月のことです。当時ワシントン大学の博士課程に在籍していたジアン・ハオティエン（現在はシカゴ大学所属）は、ミシガン大学アナーバー校の計算機科学者ニキル・バンサルを訪ねました。バンサルは2010年の段階で、個々の対象を分割してからランダムに摂動を与えて再構成するアルゴリズムを設計し、スペンサーの記録に並んでいた人物です。
訪問の2日目、二人は議論の中で新たな打開の切り口を見出しました。半年以上にわたる導出と検証を経て、二人は2025年秋に新しいアルゴリズムを正式に発表し、グループ間の最大偏差の上限をlog(N)の4乗根（(log N)^(1/4)）まで押し下げました。これは同分野における理論的停滞を約30年ぶりに打ち破る歴史的成果でした。
図：ベクトルの綱引きと均衡分配の数学的概念イラスト。出展：Quanta Magazine / Ada Zejun Shen
図：Komlós予想を打ち破った2人の研究者、Haotian Jiang（左）とNikhil Bansal（右）。出展：Quanta Magazine / Emily France, University of Michigan
複雑に絡み合う属性をいかに相互干渉させないか
従来の分配アルゴリズムは、処理の際に全体の不平衡度の最終累積値のみに着目する傾向がありました。属性の数が増加すると、特定の属性に加えた調整がバタフライ効果のように波及し、他の属性のバランスを激しく乱してしまうことが課題でした。
バンサルとジアンの新手法は、「依存性（dependency）」に対する精密な測定概念を導入しました。彼らはある特定の属性にランダムな摂動を与えた際、他の属性の偏差がどれほど連動して変化するかを評価するメカニズムを構築したのです。
計算プロセスにおいて属性間のランダムな干渉を切り離すことで、アルゴリズムは各次元がお互いを邪魔することなく独立して微調整を行うことに成功しました。この構造は理論上限を4乗根まで引き下げただけでなく、実際の計算機上で合理的な時間内に結果を算出できる効率的アルゴリズム（efficient algorithm）として直接運用・実行することを可能にしました。
全宇宙の原子を分配しても、グループ間の差はわずか「3」
log Nの4乗根という数値は、数学の公式としては少し抽象的に聞こえるかもしれません。しかし、これを現実のスケールに当てはめてみると、その成果の直感的なインパクトが明確になります。
分配対象の数N = 10の場合、対数の4乗根の値は約1となります。もし対象の数を観測可能な宇宙に存在する全原子の推定総数——およそ 10^81 個（1の後ろに0が81個続く数）——まで増やしたとしても、この公式から算出される最大偏差の値はわずか 3 程度にしかなりません。
イェール大学の数学者ダニエル・スピールマン（Daniel Spielman）はこの結果について、「人間の生涯において、対数の4乗根が5を超える数字を目にすることはまずないでしょう」とコメントしています。これは、データの規模が天文学的な数値まで膨れ上がったとしても、グループ間の不均衡度はほぼ静止したままであり、限りなく定数に近い状態が保たれることを意味します。
トロント大学の研究員アレクサンダー・ニコロフ（Aleksandar Nikolov）は、以前はKomlós予想は成立しないと考えていたものの、今回の新成果によって予想が正しい確率が極めて高いと確信するようになったと打ち明けています。また、ハンガリーのレーニ研究所の研究員レイニー・ヘック（Rainie Heck）も、この理論が大規模言語モデルや機械学習システムの最適化に応用されつつあり、近いうちに定数境界の存在が完全に証明される可能性があると指摘しています。
「完璧に近い公平」が手の中に
無数の複雑な特徴を持つ物事に対して、絶対的かつ誤差ゼロの完全な公平を実現することには、数学的法則のうえで常に限界が存在します。しかし、バンサルとジアンのブレイクスルーは、ほぼ完璧なバランスが理論的に実現可能であるばかりか、計算機によって効率的に達成できることを世界に証明してみせました。
40年前の無謀とも思われた数学的予想から、30年間聳え立っていた平方根の壁に至るまで、数学者たちは不平衡度の理論的限界を少しずつ押し広げてきました。彼らは精巧なアルゴリズムを用いて、どんなに複雑で混沌とした世界であっても、人間には混沌を秩序へと導く偉大な知恵が備わっていることを証明したのです。
参考リンク：
- Quanta Magazine 報道
