Imagine a doce amigos con intereses muy diversos reunidos para una noche de trivia, intentando dividirse en dos equipos de nivel equilibrado. Zhang domina la historia y la geografía, Li conoce al detalle la música pop y el cine, y Wang destaca en deportes y cocina. Para lograr que ambos equipos compitan en igualdad de condiciones en todos los campos, el proceso de selección entra rápidamente en un punto muerto: en cuanto se traslada a Zhang al Equipo A para nivelar la puntuación de historia, el nivel de geografía del Equipo A se dispara, rompiendo de nuevo el equilibrio en ese ámbito.
Este dilema aparentemente cotidiano pertenece en matemáticas a la teoría combinatoria de discrepancias (combinatorial discrepancy theory), el estudio de cómo repartir objetos con múltiples características en dos grupos de forma que las diferencias entre ellos se reduzcan al mínimo. Ya sea al distribuir de forma equilibrada distintos modelos y colores de coches entre dos concesionarios o al repartir pacientes de manera uniforme entre el grupo de tratamiento y el de placebo en un ensayo clínico, la dificultad se dispara a medida que aumenta el número de atributos.
Durante décadas, los matemáticos han buscado los límites teóricos de este desequilibrio en las particiones. En el otoño de 2025, los informáticos Nikhil Bansal y Haotian Jiang presentaron un nuevo algoritmo que redujo de manera drástica el límite superior del desequilibrio, estancado desde hacía casi 30 años. Su investigación demuestra que, incluso ante volúmenes gigantescos de atributos y poblaciones masivas, una partición equilibrada casi perfecta es totalmente factible.
Por qué dividir de forma equitativa ha sido un dolor de cabeza durante décadas
En la vida cotidiana, repartir objetos con una sola propiedad es sumamente sencillo. Si se tienen 100 porciones de pastel del mismo tamaño, dividirlas en dos partes de 50 logra un equilibrio perfecto. Sin embargo, en el mundo real, los objetos a repartir suelen acumular múltiples atributos de manera simultánea.
En el escenario de distribución entre concesionarios de coches de segunda mano, los vehículos vendidos al por mayor poseen distintos colores de carrocería, modelos y kilometrajes. Si se dividen simplemente por la cantidad total, podría ocurrir que un concesionario reciba la mayoría de los descapotables mientras que el otro se quede con la mayoría de los sedanes rojos. Ambos distribuidores desean que todos los indicadores estén igualados, pero cada atributo tira de la propuesta de partición en una dirección distinta.
En los ensayos clínicos, esta relación de estiramiento es todavía más estrecha. Los investigadores deben dividir a los participantes en un grupo de tratamiento y otro de control procurando que la distribución de edad sea similar, pero también que la presión arterial, las patologías previas y los hábitos de vida guarden proporciones parecidas. Un desequilibrio grave en una sola dimensión podría restar credibilidad a los datos del ensayo. Estos atributos entrelazados conforman un tablero de juego de tira y afloja sumamente complejo para los matemáticos.
Una conjetura matemática calificada una vez de imprudente
Para aclarar en el plano teórico los límites de la partición, el matemático húngaro János Komlós propuso a principios de la década de 1980 la famosa conjetura de Komlós. Sugirió que, independientemente del número de objetos y de cuántas dimensiones de atributos posea cada uno, siempre es posible encontrar una forma de reparto en la que la diferencia numérica máxima entre ambos grupos en cualquier atributo (es decir, la discrepancia, discrepancy) no supere una constante fija.
El propio Komlós bromeó años después diciendo que solo se atrevió a plantear la conjetura por la imprudencia propia de su juventud. Dado que en aquel momento se carecía de herramientas matemáticas eficaces, demostrar un límite constante independiente del número de objetos resultaba extremadamente difícil, hasta el punto de calificar su propia idea de “conjetura irresponsable”.
La comunidad académica protagonizó una larga carrera de relevos en las décadas posteriores. En 1985, el matemático Joel Spencer demostró que la discrepancia podía mantenerse dentro del logaritmo log N del número de objetos N; en 1998, Wojciech Banaszczyk mejoró el límite superior a la raíz cuadrada de log N. A partir de entonces, la comunidad matemática permaneció estancada ante ese récord durante casi 30 años, y muchos académicos llegaron a dudar de que ese límite pudiera superarse alguna vez.
Un gran avance algorítmico fruto de una visita de una semana
El giro decisivo llegó en febrero de 2025. Haotian Jiang, entonces estudiante de doctorado en la Universidad de Washington y actualmente en la Universidad de Chicago, visitó al informático Nikhil Bansal en la Universidad de Míchigan en Ann Arbor. Bansal ya había diseñado en 2010 un algoritmo que dividía objetos individuales para luego recombinarlos mediante perturbaciones aleatorias, igualando el récord de Spencer.
En el segundo día de la visita de Jiang, ambos encontraron en una discusión un nuevo punto de partida. Tras medio año de deducción y perfeccionamiento, presentaron oficialmente su nuevo algoritmo en el otoño de 2025, reduciendo el límite superior de la discrepancia máxima al valor de la raíz cuarta de log N, es decir, log(N)^(1/4). Fue la primera vez en casi tres décadas que se rompía el estancamiento teórico en este campo.
Figura: Esquema conceptual matemático sobre el juego del tirón de cuerda vectorial y la partición equilibrada. Fuente: Quanta Magazine / Ada Zejun Shen
Figura: Los dos investigadores detrás del avance sobre la conjetura de Komlós: Haotian Jiang (izquierda) y Nikhil Bansal (derecha). Fuente: Quanta Magazine / Emily France, University of Michigan
Cómo evitar que los diferentes atributos se interfieran entre sí
Los algoritmos de distribución tradicionales solían centrarse únicamente en el valor acumulado final del desequilibrio global. Cuando aumentaba el número de atributos, los ajustes aplicados a uno de ellos provocaban a menudo un efecto mariposa que alteraba drásticamente el equilibrio de los demás.
El nuevo método de Bansal y Jiang introdujo una medición precisa de la “dependencia”. Diseñaron un mecanismo para evaluar hasta qué punto la perturbación aleatoria de un atributo provocaba cambios vinculados en la discrepancia de otros atributos.
Al aislar las interferencias aleatorias entre atributos durante el cálculo, el algoritmo logró que cada dimensión realizara microajustes independientes sin interferir con las demás. Esta estructura no solo redujo el límite teórico a la raíz cuarta, sino que también proporcionó un algoritmo eficiente (efficient algorithm) capaz de ejecutarse de forma práctica en un ordenador en tiempos razonables.
Repartir todos los átomos del universo solo genera una diferencia de 3
La raíz cuarta de log N puede sonar abstracta en una fórmula matemática, pero cuando se traslada a escalas reales, el impacto intuitivo del resultado se manifiesta con claridad.
Cuando el número de objetos es N = 10, la raíz cuarta del logaritmo equivale aproximadamente a 1. Si se aumenta la cantidad de objetos hasta el número estimado de átomos en el universo observable —alrededor de 10^81 (un 1 seguido de 81 ceros)—, la discrepancia máxima calculada por esta fórmula apenas aumenta hasta 3.
El matemático de la Universidad de Yale Daniel Spielman comentó al respecto que, a lo largo de la vida de un ser humano, es casi imposible ver un valor de raíz cuarta de un logaritmo que supere el número 5. Esto significa que, aunque la escala de los datos crezca a niveles astronómicos, el nivel de desequilibrio en el reparto se mantiene prácticamente estático, infinitamente cercano a una constante.
Aleksandar Nikolov, investigador de la Universidad de Toronto, confesó que antes tendía a pensar que la conjetura de Komlós era falsa, pero que este nuevo logro le ha vuelto a convencer de que es muy probable que sea cierta. Rainie Heck, investigadora del Instituto Rényi de Hungría, señaló además que esta teoría se está aplicando en la optimización de grandes modelos de lenguaje y sistemas de aprendizaje automático, y que es muy probable que pronto alguien demuestre plenamente la existencia de una cota constante.
Una equidad casi perfecta al alcance de la mano
Lograr un reparto con absoluta equidad de cero errores entre cosas con innumerables atributos complejos tiene siempre un techo según las leyes matemáticas. Sin embargo, el avance de Bansal y Jiang demuestra al mundo que un equilibrio casi perfecto no solo es completamente viable en la teoría, sino que puede alcanzarse de manera eficiente mediante ordenadores.
Desde aquella conjetura matemática formulada hace 40 años que parecía imprudente hasta el muro de la raíz cuadrada que resistió durante 30 años, los matemáticos han ido corriendo paso a paso los límites teóricos del desequilibrio. Con un algoritmo ingenioso, han demostrado que, aun frente a un mundo extraordinariamente complejo, la inteligencia humana conserva la capacidad de convertir el caos en orden.
Enlace de referencia:
- Reportaje de Quanta Magazine
