12 个兴趣各异的朋友聚在一起玩知识问答，准备分成旗鼓相当的两队。张三精通历史与地理，李四熟悉流行音乐与电影，王五则擅长体育和烹饪。要想让两队在每个领域都势均力敌，组队过程很快就会陷入僵局：只要把张三挪到 A 队调平历史得分，A 队的地理实力就会瞬间超标，两队在地理维度上再次失衡。
这种看似平常的组队困境，在数学上属于组合偏差理论（combinatorial discrepancy theory，研究如何将包含多种特征的对象分配到两个小组中，并让两组差异尽量最小的数学学问）。无论是在二手车交易中向两家经销商均衡分配不同车型与颜色，还是在医学临床试验中将患者均匀分入治疗组与安慰剂组，只要涉及多维特征的划组分摊，难度就会随特征数量激增。
多年来，数学家一直在探寻这种分组不平衡度的理论边界。2025 年秋，计算机科学家班萨尔（Nikhil Bansal）与姜浩天（Haotian Jiang）提出了全新算法，将近 30 年未曾动摇的不平衡度上限大幅削减。这项研究证明，哪怕面临海量特征与庞大群体，近乎完美的均衡分配依然可行。
为什么均匀分组是数学家折腾数十年的难题
在日常生活里，分配单一属性的对象非常容易。如果手里有 100 块大小相同的蛋糕，直接分成两份各 50 块就能达成完美平衡。然而，现实中的分配对象往往同时叠加了多种属性。
以二手车经销商的分配场景为例，批发出售的车辆既有不同的车身颜色，又有不同的车型与行驶里程。如果直接按总量平分，可能出现一家店分到了大部分敞篷车，另一家店分到了大部分红色轿车的状况。两家经销商都希望各项指标尽量持平，但每个属性都在拉拽分配方案。
在医学试验里，这种拉拽关系更为紧密。研究人员需要将受试者分成治疗组与对照组，既要保证两组的年龄分布相似，又要让血压、基础病和生活习惯的比例接近。任何一个维度的严重失衡，都可能导致试验数据失去说服力。这些相互纠缠的特征属性，组成了数学家眼中极为棘手的拔河棋盘。
一个被自嘲为傻且莽撞的数学猜想
为了从理论上厘清分配的极限，匈牙利数学家科姆洛什（János Komlós）在 20 世纪 80 年代初提出了著名的科姆洛什猜想。他推测，无论有多少个分配对象，也无论每个对象附带多少种特征维度，总能找到一种分配方案，使得两组在各个特征上的最大数值差异（即偏差，discrepancy，衡量分组后两队在某一特定属性上的数值差距）不超过同一个固定的常数。
科姆洛什本人后来开玩笑说，自己当年是因为年轻且莽撞才敢提出这个猜想。由于当时缺乏有效的数学工具，要证明这个不随对象数量增长的常数上限极其困难，他甚至把这个提议称为「不负责任的猜想」。
整个学术界在随后的数十年里展开了漫长的接力。1985 年，数学家斯宾塞（Joel Spencer）证明了偏差可以控制在对象数量 N 的对数 log N 之内；1998 年，巴纳什奇克（Wojciech Banaszczyk）进一步将上限改进到了 log N 的平方根。自那以后，整个数学界在这一记录前停滞了近 30 年，许多学者甚至怀疑这个界限已经无法再被打破。
一周拜访带来的算法突破
转机发生在 2025 年 2 月。当时在华盛顿大学读博、现任职于芝加哥大学的姜浩天前往密歇根大学安娜堡分校，拜访了计算机科学家班萨尔。班萨尔早在 2010 年就曾设计过一种将单个对象拆分再随机扰动重组的算法，追平了斯宾塞的记录。
在姜浩天拜访的第二天，两人在讨论中找到了全新的破局切入点。经过长达半年的推演与完善，他们在 2025 年秋正式推出了新算法，将分组最大偏差的上限推到了 log(N) 的四次根。这是近 30 年来人类首次打破该领域的理论僵局。
图：向量拔河与均衡分配的数学概念示意图。来源：Quanta Magazine / Ada Zejun Shen
图：突破 Komlós 猜想的两位研究者 Haotian Jiang（左）与 Nikhil Bansal（右）。来源：Quanta Magazine / Emily France, University of Michigan
如何让混乱的属性互不打扰
以往的研究算法在处理分配时，往往只关注全局不平衡度的最终累加值。当属性数量变多时，对某一个属性施加的调整往往会像蝴蝶效应一样，剧烈干扰其他属性的平衡。
班萨尔与姜浩天的新方法引入了对「依赖性」的精准测量。他们设计了一套机制，用于评估随机扰动某一个属性时，其他属性的偏差会发生多大程度的联动变化。
通过在计算过程中隔断属性之间的随机干扰，算法成功让各个维度实现了互不打扰的独立微调。这种构造不仅将理论上限降到了四次根，还提供了一种高效算法（efficient algorithm，指计算机可以在合理时间内计算出结果的算法），可以直接在实际计算中部署运行。
全宇宙的原子拿来分组，差距也不过是 3
log N 的四次根在数学公式里显得有些抽象，但把它放到现实尺度下，成果的直观影响便展现无遗。
当分配对象数量 N = 10 时，对数四次根的值大约等于 1。如果把分配对象的数量增加到可观测宇宙中所有原子的总估计数——大约 10^81 个（1 后面跟 81 个零）——这个公式算出来的最大偏差值仅仅增长到了 3 左右。
耶鲁大学数学家斯皮尔曼（Daniel Spielman）对此评价道，在人类的有生之年，几乎不可能见到一个对数四次根超过 5 的数字。这意味着，即使数据规模扩大到天文数字级别，分组不平衡的程度也几乎保持静止，无限接近于一个常数。
多伦多大学研究员尼科洛夫（Aleksandar Nikolov）坦言，自己过去一直倾向于认为科姆洛什猜想并不成立，但这项新成果让他重新确信猜想大概率是真的。匈牙利雷尼研究所的研究员黑克（Rainie Heck）也指出，该理论正被引入大语言模型与机器学习系统的优化中，未来很可能会有人彻底证实常数界的存在。
接近完美的公平已经触手可及
要让拥有无数复杂特征的事物做到绝对的、零误差的绝对公平，在数学规律上始终存在天花板。然而，班萨尔与姜浩天的突破向世人证明，几乎完美的平衡不仅在理论上完全可行，而且可以依靠计算机高效实现。
从 40 年前看似莽撞的数学猜想，到 30 年固若金汤的平方根高墙，数学家们一步步撬动着不平衡度的理论极限。他们用一套精巧的算法证明，即便面对极其纷繁复杂的世界，人类依然拥有将混乱划归秩序的强大智慧。
参考链接：
- Quanta Magazine 报道
