台球桌上的碰碰球，与逃不掉的量子波
在桌球室里打台球时，如果桌面无规律地摆满了成百上千个障碍物，把小钢珠击打出去，小珠子会在障碍物之间连续碰撞。当障碍物的布局极其复杂时，小钢珠往往会在几轮弹射后卡在某个细小的缝隙里，永远无法弹出来。在日常生活的物理经验中，几何路径越复杂，物体越容易被困在死胡同里。
2026年8月12日，《Quanta Magazine》报道了一项发表于数学顶级期刊《Annals of Mathematics》的重磅成果：25岁的麻省理工学院博士生亚历克斯·科恩（Alex Cohen）证明了高维空间下的分形测不准原理（fractal uncertainty principle, FUP，描述量子波在复杂几何路径上必然泄漏扩散的数学定理）。
这项研究得出一个反常识的结论：微观世界里的量子波永远不会像小钢珠那样被困在几何死胡同里。哪怕路径被设计成无限复杂的几何迷宫，量子波也一定会泄漏扩散开来。高维分形测不准原理的证明，揭示了量子粒子在无限混沌中比经典物体更守规矩。
无限放大的迷宫：分形究竟是什么
想要理解量子波的运动，需要先看懂分形（fractal，一种无论放大多少倍内部细节与复杂度都保持不变的几何形状）的特殊结构。在自然界中常见的雪花边缘、海岸线，都带有分形的影子，拿放大镜观察局部，其曲折程度与站在高空俯瞰整体几乎完全相同。
在数学研究中，最经典的分形是康托尔集（Cantor set，通过将一条线段不断挖掉中间三分之一形成的断续点集）。如果在正方形里不断掏空细小的方块，就会得到谢尔宾斯基地毯（Sierpinski carpet，一种内部布满无数细小孔洞的平面分形）。这类几何体充满了密密麻麻的孔洞，其占据的实际体积在数学计算中趋近于零。
图：分形结构与量子波扩散的视觉示意。来源：Ada Zejun Shen/Quanta Magazine
康托尔集的总长度在数学上收敛于零，但它包含的点集数量却与整条线段一样多。这种结构相当于在一块布料上剪掉 99% 的纤维，剩下的空架子依然能布满整个空间。当微观粒子遇到这种到处是眼儿的几何网格时，经典物理与量子物理走向了完全不同的结局。
为什么粒子会被卡住，波却能泄露
经典物理学中的弹珠在混沌系统中撞击时，撞击点构成的轨迹会在空间中聚集成类似康托尔集的分形尘埃（fractal dust，粒子碰撞轨迹在局部形成的无限细碎点集）。因为弹珠是实心颗粒，它只要沿着特定角度碰撞，就会被限制在这些分形尘埃构成的死胡同里无法脱身。
微观粒子具有波粒二象性，其行为由波函数支配。测量微观粒子时，必须遵循测不准原理（uncertainty principle，量子力学中无法同时精准测量微观粒子位置和动量的物理铁律）。测不准原理的数学基础依托于傅里叶变换（Fourier transform，把复杂波动拆解成不同频率单频波的数学工具）。
把声波关进一个到处是细缝的箱子里，声音必然会从缝隙中传出来。傅里叶变换在数学上证明了，如果波在空间上的位置被限制在极其狭窄的分形孔洞里，它的频率和动量就会被无限扯宽。量子波无法被局限在零体积的分形骨架上，能量必然向外扩散。
遗稿里的秘籍：25岁博士生的孤勇突破
早在 2016 年，麻省理工学院数学家塞米扬·迪亚特洛夫（Semyon Dyatlov）与已故菲尔兹奖得主让·布尔甘（Jean Bourgain）就证明了一维空间下的分形测不准原理。但在二维以及更高的空间维度里，数学界普遍认为证明难度极高。索邦大学数学家弗雷德里克·诺德（Frédéric Naud）曾回忆，当年在新泽西举行的工作坊上，与会者几乎没人相信这个原理能推广到高维。
图：数学家塞米扬·迪亚特洛夫。来源：Xuwen Zhu
关键转折发生在布尔甘于 2018 年底去世后。布尔甘生前留下了一份尚未发表的手稿笔记，迪亚特洛夫将这份笔记转交给了刚入学不久的博士生亚历克斯·科恩。科恩读完手稿后深受震撼，笔记中提示的解题切入点是 1960 年代创立的伯林-马利亚温定理（Beurling-Malliavin theorem，一种研究函数衰减速度与傅里叶变换性质的分析数学定理）。
图：数学家亚历克斯·科恩。来源：Hertz Foundation
资深研究者此前大多尝试过这条路线并认为行不通，科恩因为不了解前辈们的挫折，反而带着极大的信心投入研究。高维证明的最大障碍在于某些高维分形可能包含连续的直线，直线的傅里叶变换依然是直线，这会破坏测不准原理的成立条件。科恩引入了线孔隙性（line porosity，一种确保几何分形中任意方向都不包含完整直线的筛选条件），成功排除了破坏条件的分形。在 2023 年 5 月把证明手稿上传至预印本网站后，科恩的论文最终在 2025 年正式发表于顶级数学期刊《Annals of Mathematics》，他也凭此在 25 岁时获得了纽约大学的助理教授职位。
量子世界里的莫奈名画：波永远在全场扩散
高维分形测不准原理的突破，迅速为物理学与数学的其他领域带来了连带效应。2017 年迪亚特洛夫与清华大学学者金龙曾利用一维定理，证明了波在双曲面上永远无法被困住。2025 年哈佛大学学者埃列娜·金（Elena Kim）与俄克拉荷马大学学者尼古拉斯·米勒（Nicholas Miller）利用科恩的高维成果，将该结论推广到了高维双曲空间。普林斯顿高等研究院的彼得·萨纳克（Peter Sarnak）称这是高维定理最壮观的实际应用。
迪亚特洛夫用印象派画家莫奈的油画来比喻这种量子波的扩散现象。近距离观察莫奈的画作时，画布上布满了无数杂乱无章、相互交错的笔触；但只要后退几步从远处看，所有的色彩都会均匀地融合在一起。量子波在混沌空间里的运动就像莫奈的笔触，虽然微观上纷繁复杂，宏观上却必然均匀扩散到整个空间的每个角落。
这一结论为解决数学界悬而未决的萨纳克-鲁德尼克猜想（Sarnak-Rudnick conjecture，关于混沌系统中量子波函数宏观分布均匀度的猜想）迈出了关键一步。普林斯顿高等研究院的彼得·萨纳克评价道，一个研究生在博士论文里做出这种基础性成就，在学术界相当罕见。
混沌迷宫困不住波
在经典物理的世界里，混沌往往伴随着偶然与困局，一个小钢珠可能在复杂的死胡同里被死死卡住。而在量子力学的支配下，测不准原理为微观粒子的行为划定了不可逾越的底线。
高维分形测不准原理的证明，彻底厘清了量子粒子在复杂几何结构中的运动律动。连无限层叠、布满孔洞的分形路径都无法封印量子波，波必然会泄漏并充满全局。在看似无序的微观混沌中，量子世界展现出了一种比经典物理更坚固的秩序。
参考链接：
- Quanta Magazine 报道
