Bolas de billar en colisión y la onda cuántica que no se puede atrapar
Imagine jugar al billar en una mesa abarrotada sin orden con cientos de obstáculos. Al golpear una bola de acero, esta rebota continuamente entre las barreras. Cuando la disposición de los obstáculos es extremadamente compleja, la bola suele quedar atrapada tras unos pocos rebotes en una pequeña grieta de la que nunca podrá salir. En la experiencia física cotidiana, cuanto más compleja es la trayectoria geométrica, más fácil es que un objeto quede atrapado en un callejón sin salida.
El 12 de agosto de 2026, la revista Quanta Magazine informó sobre un logro de gran alcance publicado en la prestigiosa revista matemática Annals of Mathematics: Alex Cohen, un estudiante de doctorado del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) de 25 años, demostró el principio de incertidumbre fractal (fractal uncertainty principle, FUP) en dimensiones superiores, un teorema matemático que describe cómo las ondas cuánticas se escapan y difunden inevitablemente en trayectorias geométricas complejas.
Esta investigación llega a una conclusión contraria a la intuición: las ondas cuánticas del mundo microscópico nunca quedan atrapadas en callejones sin salida geométricos como las bolas de acero. Incluso si la trayectoria está diseñada como un laberinto geométrico infinitamente complejo, la onda cuántica terminará escapando y difundiéndose. La demostración del principio de incertidumbre fractal en altas dimensiones revela que las partículas cuánticas son más ordenadas en el caos infinito que los objetos clásicos.
El laberinto infinitamente ampliado: ¿Qué es exactamente un fractal?
Para comprender el movimiento de las ondas cuánticas, primero hay que entender la estructura especial de los fractales (formas geométricas cuyos detalles internos y complejidad se mantienen invariables sin importar cuánto se amplíen). Los bordes de los copos de nieve o las líneas costeras en la naturaleza muestran la huella de los fractales: observando un fragmento con una lupa, su sinuosidad es casi idéntica a la vista desde gran altura.
En la investigación matemática, el fractal más clásico es el conjunto de Cantor (un conjunto de puntos discontinuos formado al eliminar repetidamente el tercio central de un segmento de línea). Si dentro de un cuadrado se vacían continuamente pequeños cuadrados, se obtiene la alfombra de Sierpinski (un fractal plano repleto de innumerables orificios diminutos). Este tipo de geometrías está lleno de huecos y su volumen real en los cálculos matemáticos tiende a cero.
Figura: Representación visual de la estructura fractal y la difusión de ondas cuánticas. Fuente: Ada Zejun Shen/Quanta Magazine
La longitud total del conjunto de Cantor converge matemáticamente a cero, pero la cantidad de puntos que contiene es igual a la de todo el segmento de línea original. Esta estructura equivale a cortar el 99% de las fibras de una tela mientras la estructura vacía restante sigue ocupando todo el espacio. Cuando una partícula microscópica se encuentra con una red geométrica tan llena de orificios, la física clásica y la física cuántica toman caminos completamente opuestos.
Por qué las partículas se atascan mientras las ondas se escapan
Cuando las bolas de billar clásicas chocan en un sistema caótico, los puntos de impacto forman trayectorias en el espacio que se agrupan en polvo fractal (un conjunto infinitamente fino de puntos que forman las trayectorias de colisión a nivel local). Como la bola es un cuerpo sólido, siempre que choque en determinados ángulos, quedará confinada en los callejones sin salida del polvo fractal sin poder escapar.
Las partículas microscópicas poseen dualidad onda-corpúsculo y su comportamiento está gobernado por la función de onda. Al medir una partícula microscópica, se debe respetar el principio de incertidumbre (una ley fundamental de la mecánica cuántica según la cual no se pueden medir simultáneamente y con precisión la posición y el momento de una partícula). La base matemática del principio de incertidumbre se apoya en la transformación de Fourier (una herramienta matemática que descompone ondas complejas en ondas de frecuencia única).
Si se encierra una onda sonora en una caja llena de rendijas finas, el sonido saldrá inevitablemente por las grietas. La transformación de Fourier demuestra matemáticamente que si la posición espacial de una onda se restringe a agujeros fractales extremadamente estrechos, su frecuencia y su momento se ensanchan de forma infinita. Las ondas cuánticas no pueden quedar confinadas en un esqueleto fractal de volumen cero; la energía se difunde de forma inevitable hacia el exterior.
Pistas en un manuscrito póstumo: El avance decisivo de un doctorando de 25 años
Ya en 2016, el matemático del MIT Semyon Dyatlov y el fallecido medallista Fields Jean Bourgain demostraron el principio de incertidumbre fractal en espacios unidimensionales. Sin embargo, en dos dimensiones o más, la comunidad matemática consideraba que la demostración era extremadamente difícil. Frédéric Naud, matemático de la Universidad de la Sorbona, recordó que en un taller celebrado en Nueva Jersey por aquel entonces casi nadie creía que el principio pudiera generalizarse a dimensiones superiores.
Figura: El matemático Semyon Dyatlov. Fuente: Xuwen Zhu
El punto de inflexión decisivo ocurrió tras el fallecimiento de Bourgain a finales de 2018. Bourgain dejó un manuscrito no publicado cuyas notas Dyatlov entregó a Alex Cohen, quien acababa de iniciar su doctorado. Cohen quedó profundamente impresionado al leer el manuscrito. La vía de ataque sugerida en las notas era el teorema de Beurling-Malliavin, formulado en la década de 1960 (un teorema de análisis matemático que estudia la velocidad de decaimiento de las funciones y las propiedades de la transformación de Fourier).
Figura: El matemático Alex Cohen. Fuente: Hertz Foundation
La mayoría de los investigadores experimentados habían intentado esa ruta anteriormente y la habían considerado un camino sin salida. Como Cohen no conocía los contratiempos de sus predecesores, abordó la investigación con enorme confianza. El mayor obstáculo en altas dimensiones radicaba en que algunos fractales de dimensión superior podían contener líneas rectas continuas, y la transformación de Fourier de una línea sigue siendo una línea, lo que destruía las condiciones de validez del principio de incertidumbre. Cohen introdujo la “porosidad lineal” (line porosity: una condición de filtrado geométrico que garantiza que en ninguna dirección exista una línea recta completa), logrando eliminar los fractales incompatibles. Tras publicar el borrador en el servidor de preimpresiones en mayo de 2023, el artículo de Cohen se publicó formalmente en 2025 en la prestigiosa revista Annals of Mathematics, lo que le valió una plaza de profesor ayudante en la Universidad de Nueva York a los 25 años.
La pintura de Monet en el mundo cuántico: Las ondas se difunden por todo el espacio
El avance en el principio de incertidumbre fractal en altas dimensiones generó rápidamente efectos en cadena en otros campos de la física y las matemáticas. En 2017, Dyatlov y el investigador de la Universidad de Tsinghua Long Jin utilizaron el teorema unidimensional para demostrar que las ondas nunca pueden quedar atrapadas en superficies hiperbólicas. En 2025, Elena Kim (Universidad de Harvard) y Nicholas Miller (Universidad de Oklahoma) utilizaron los resultados multidimensionales de Cohen para extender esta conclusión a espacios hiperbólicos de alta dimensión. Peter Sarnak, del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, lo calificó como la aplicación práctica más espectacular del teorema en dimensiones superiores.
Dyatlov utilizó los cuadros del pintor impresionista Claude Monet como analogía de este fenómeno de difusión de ondas cuánticas. Al observar de cerca un lienzo de Monet, la superficie está llena de innumerables trazos de pincel desordenados que se cruzan entre sí; pero al dar unos pasos hacia atrás y mirarlo desde lejos, todos los colores se mezclan de forma uniforme. El movimiento de las ondas cuánticas en un espacio caótico es como las pinceladas de Monet: aunque microcópicamente complejo, macroscópicamente se difunde de forma uniforme por cada rincón del espacio.
Esta conclusión supuso un paso decisivo hacia la resolución de la conjetura de Sarnak-Rudnick (sobre la uniformidad en la distribución espacial macroscópica de las funciones de onda cuánticas en sistemas caóticos). Peter Sarnak comentó que es sumamente raro en el mundo académico que un estudiante de doctorado logre un avance tan fundamental en su tesis doctoral.
El laberinto del caos no puede encerrar a las ondas
En el mundo de la física clásica, el caos suele ir acompañado de azar y bloqueos: una bola de acero puede quedar atrapada sin remedio en un callejón sin salida. En cambio, bajo el dominio de la mecánica cuántica, el principio de incertidumbre establece un límite infranqueable para el comportamiento de las partículas microscópicas.
La demostración del principio de incertidumbre fractal en altas dimensiones ha aclarado de forma definitiva la dinámica del movimiento de las partículas cuánticas en estructuras geométricas complejas. Ni siquiera las trayectorias fractales con infinitas capas y llenas de agujeros pueden sellar las ondas cuánticas; la onda escapa e inunda todo el espacio. En lo que parece un caos microscópico desordenado, el mundo cuántico exhibe un orden aún más sólido que el de la física clásica.
Enlaces de referencia:
- Reportaje de Quanta Magazine
