你手上那台手机，每秒钟能做大约 50 亿次运算。五十年前，这个数字需要用一整个机房来实现。这种指数级的进步让人觉得：计算机好像可以一直快下去，没有尽头。
但物理学不这么看。
1962 年，一位名叫汉斯-约阿希姆·布雷默曼（Hans-Joachim Bremermann）的数学家，用两支笔——爱因斯坦的质能方程和量子力学的不确定性原理——算出了一道铁门槛：任何一公斤的物质，无论你把它做成什么形态的计算机，每秒最多只能完成约 1.36 × 10⁵⁰ 次基本运算。 多一点都没有，物理定律不给。
这个数字大得吓人，但它是「硬」的——不来自工程技术瓶颈，不来自材料限制，不来自散热难题，而是宇宙基本常数的直接推演。它像高速公路上的物理最高时速：由轮胎橡胶与路面之间那层摩擦力规定，不是交警立的限速牌。你可以换更好的引擎、更轻的车身、更聪明的驾驶员，但你不可能绕过摩擦系数。
一个反常识的数字是怎么来的
要理解 Bremermann 极限，只需要三样东西。这三样，高中物理课本里都有。
第一样是 E = mc²。 它告诉我们，质量和能量是同一枚硬币的两面。一公斤的物质里，锁着 9 × 10¹⁶ 焦耳的能量——差不多是广岛原子弹释放能量的两倍。如果你能把一公斤物质「全部」用来做计算，这笔能量就是你的全部预算。
第二样是海森堡不确定性原理。 它有一个不那么经常被提起的版本：能量和时间不能同时被精确确定。用数学语言说就是 ΔE·Δt ≥ h/4π，其中 h 是普朗克常数。翻译成人话：一个系统要完成一次「状态切换」——也就是做一次计算——最少需要的时间，取决于它有多少能量可以用。能量越大，每次操作可以越快。
第三样是把前两样拼在一起。 既然一公斤物质最多提供 mc² 的能量，而每次操作最少需要 h/(4π·mc²) 的时间，那么倒数一取：每秒最多能做的操作次数 = mc² / (h/4π) ≈ mc²/h。常数因子先放一边，数量级就是这个：c² 除以 h，大约 10⁵⁰。
笔者觉得最妙的地方在于：这不是一个经验公式，不是一个拟合曲线，不是实验室测出来的数据点连成的线。它来自两条已经被无数次实验验证的物理铁律。只要你承认 E=mc² 是对的，只要你承认不确定性原理是对的，这个天花板就必然存在——不管你用什么技术、什么材料、什么架构。
来源：Wikimedia Commons, Moore’s Law Transistor Count 1970-2020
计算的「燃料费」：擦掉一个比特也要交税
如果 Bremermann 极限管的是「你能跑多快」，那 1961 年另一位物理学家罗尔夫·兰道尔（Rolf Landauer）发现的原理，管的则是「你得花多少钱」。
兰道尔当时在 IBM 工作。他问了一个看似简单的问题：计算机做运算的时候，热量是从哪里来的？电路有电阻会发热，这个好理解。但有没有一种热量，是计算行为本身产生的——与被计算的数据内容无关，与电路材料无关，与工艺先进与否也无关？
答案是有。
兰道尔证明了一个至今仍在被反复验证的结论：每当你擦除 1 比特的信息，你必须向环境排放至少 kT·ln 2 的能量作为热量。 其中 k 是玻尔兹曼常数，T 是环境的绝对温度。在室温下（约 27°C），这个数字大约是 2.85 × 10⁻²¹ 焦耳——小到不可思议，但绝不为零。
为什么「擦除」信息一定要发热？这背后是热力学第二定律：孤立系统的熵不能减少。把两个比特的路径合并成一个——比如不管原来是 0 还是 1，都写成 0——这个过程中信息减少了，熵增加了，热量必须以某种形式排出去。物理学家喜欢说：信息不是免费的。它像燃料一样，使用之后会留下「废热」。
有意思的是，如果计算是完全可逆的——每一步操作都能从结果反推出输入——那理论上可以不产生任何热量。这催生了一个叫「可逆计算」的研究方向。但现实中，绝大多数计算操作（加法、比较、逻辑判断）都会丢弃信息，所以兰道尔原理几乎是绕不开的。
来源：Unsplash, photo by Louis Reed
摩尔定律的尽头不是终点站，只是第一个收费站
很多人在听到 Bremermann 极限时的第一反应是：「10⁵⁰ 次？现在最好的芯片才 10¹⁰ 次左右，差了 40 个数量级，急什么？」
这个反应本身没错。但问题在于：通往 Bremermann 极限的路上，我们遇到的第一个路障，恰恰是兰道尔原理和它的工程表亲——散热问题。
摩尔定律在过去六十年里表现惊人：芯片上的晶体管数量每两年翻一番。但 2005 年之后，处理器的主频就不再上涨了。今天你能买到的最好的桌面 CPU，主频仍然在 3 到 5 GHz 之间徘徊——和十五年前区别不大。散热跟不上——这是工程师无法继续提频的核心原因。频率越高，功耗越大，热量密度越高。如果把一颗现代 CPU 的所有晶体管同时全速工作，它的单位面积发热量已经超过了电炉的炉盘。
这就是所谓的「暗硅」现象：芯片上有大把的晶体管，但你不敢同时点亮它们——否则芯片会把自己烧穿。
Bremermann 极限假设的是「把一公斤物质全部变成一台完美计算机」。但现实中，你电脑里那几百克的硅片、铜线、塑料封装里，真正用来做计算的晶体管只占物质总量的一个零头。绝大部分质量和能量要么闲置，要么以热量的形式散掉了。我们离 Bremermann 天花板远得很，但离兰道尔地板却近在咫尺。
量子计算机能打破这些规则吗？
每当谈论到物理极限，总有人会问：量子计算机呢？它能绕过这些限制吗？
答案是：不能，至少不能在 Bremermann 和 Landauer 的意义上。
量子计算机确实很厉害。它利用叠加态和纠缠，在某些特定问题上（比如大数分解、量子化学模拟）可以实现指数级的加速。但这不意味着它可以无视物理定律。一个量子比特仍然是一块物质，它仍然服从 E=mc²、不确定性原理和热力学第二定律。Bremermann 极限管的是任何自包含物理系统的最大计算速率——量子系统也不例外。
不过，在 Landauer 原理的层面，量子计算有一个有趣的可能性。因为量子逻辑门的操作在理论上可以是可逆的（量子力学的基本演化方程在时间反演下是不变的），一些研究者认为量子计算在能量效率上可能远超经典计算。但这仍然是未经验证的工程假设，距实用还有漫长的距离。
说得直白一点：量子计算机或许能让你用更少的步骤解决某些问题，但它不能让你在同样的物质里每秒做超过 10⁵⁰ 次基本操作。
工程野心 vs. 物理铁律：一场注定输掉的比赛
笔者觉得这整件事里最有张力的地方，在于人类工程野心与物理铁律之间的不对称关系。
我们习惯了「只要足够努力，就能突破极限」的叙事。四分钟跑完一英里曾经被认为不可能，后来被打破了。音障也曾经是不可逾越的，后来也被打破了。这种故事反复上演，让人产生一种错觉：任何「极限」都只是暂时的。
但 Bremermann 极限和兰道尔原理不是这样的极限。
它们不是因为你用的材料不够好、你的设计不够聪明、你的工艺不够先进。它们来自宇宙的结构本身。光速 c、普朗克常数 h、玻尔兹曼常数 k——这些数字不是人类发明的，也不是人类可以修改的。它们像重力一样，是我们生活的这个宇宙的出厂设置。
1962 年布雷默曼写下那个公式的时候，集成电路才刚刚发明四年。IBM 最先进的计算机 System/360 甚至还没有发布。他根本不可能预见到今天的芯片长什么样，但他推导出的上限，对今天造出来的任何芯片都有效，对一百年后造出来的任何芯片同样有效。
这就是物理定律的「霸道」之处：它不商量，不妥协，不给你申诉的机会。
反过来想，这其实也是一种解放。知道天花板在哪里，你就不用焦虑「我们会不会永远追不上」。天花板就在那里，你可以把精力放在更有意义的问题上：在到达天花板之前，我们还能做多少有趣的事情？这四十个数量级的空间里，藏着多少我们还没发明的技术？
参考链接
- Caolan, “A Speed Limit for Computers” (2026-07-02): https://caolan.uk/notes/2026-07-02_a_speed_limit_for_computers.cm
- Lobsters 讨论: https://lobste.rs/s/iztgtd/speed_limit_for_computers
- Wikipedia, “Bremermann’s limit”: https://en.wikipedia.org/wiki/Bremermann%27s_limit
- Wikipedia, “Landauer’s principle”: https://en.wikipedia.org/wiki/Landauer%27s_principle
- Bremermann, H.J. (1962), “Optimization through evolution and recombination”, Self-Organizing Systems
- Landauer, R. (1961), “Irreversibility and heat generation in the computing process”, IBM Journal of Research and Development
- Bérut, A. et al. (2012), “Experimental verification of Landauer’s principle linking information and thermodynamics”, Nature
- Lloyd, S. (2000), “Ultimate physical limits to computation”, Nature
- Gorelik, G. (2010), “Bremermann’s Limit and cGh-physics”, arXiv:0910.3424
- Wikipedia, “Limits of computation”: https://en.wikipedia.org/wiki/Limits_of_computation