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초당 10⁵⁰회 — 물리학이 컴퓨터에 그은 넘을 수 없는 선

초당 10⁵⁰회 — 물리학이 컴퓨터에 그은 넘을 수 없는 선

물리학컴퓨팅과학기초 이론

데이터 소스：Lobsters + web research

당신 손에 들린 스마트폰은 초당 약 50억 회의 연산을 수행한다. 50년 전만 해도, 이 정도 연산량을 구현하려면 방 하나를 가득 채우는 장비가 필요했다. 이런 기하급수적 진보를 보고 있노라면, 마치 컴퓨터는 영원히 계속 빨라질 수 있을 것 같고, 끝이라는 게 없을 것만 같다.

하지만 물리학은 그렇게 보지 않는다.

1962년, 한스-요아힘 브레머만(Hans-Joachim Bremermann)이라는 수학자는 두 개의 펜 — 아인슈타인의 질량-에너지 등가 법칙과 양자역학의 불확정성 원리 — 만으로 하나의 철칙을 계산해 냈다. 1킬로그램의 물질은, 당신이 그것을 어떤 형태의 컴퓨터로 만들든 간에, 초당 최대 약 1.36 × 10⁵⁰회의 기본 연산밖에 수행할 수 없다. 조금도 더 할 수 없다. 물리 법칙이 허락하지 않는다.

이 숫자는 상상을 초월할 정도로 크지만, 동시에 ‘단단한’ 숫자다. 공학적 병목에서 오지도 않았고, 재료의 한계에서 오지도 않았고, 방열 문제에서 오지도 않았다. 우주의 기본 상수들로부터 직접 도출된 결과다. 이는 마치 고속도로 위의 물리적 최고 속도와 같다. 타이어 고무와 노면 사이의 마찰 계수가 정하는 것이지, 교통경찰이 세운 제한 속도 표지판이 아니다. 더 좋은 엔진, 더 가벼운 차체, 더 똑똑한 운전자로 바꿀 수는 있어도, 마찰 계수 자체를 우회할 수는 없다.

반직관적인 숫자는 어디서 왔을까?

Bremermann 한계를 이해하는 데 필요한 것은 단 세 가지다. 그리고 이 세 가지는 고등학교 물리 교과서에 다 나온다.

첫 번째는 E = mc²다. 이것은 질량과 에너지가 동전의 양면임을 말해준다. 1킬로그램의 물질 안에는 9 × 10¹⁶ 줄(Joule)의 에너지가 잠겨 있다. 이는 히로시마 원폭이 방출한 에너지의 약 두 배에 해당한다. 만약 여러분이 1킬로그램의 물질을 ‘전부’ 연산에 사용할 수 있다면, 이 에너지가 여러분의 총 예산이다.

두 번째는 하이젠베르크의 불확정성 원리다. 이 원리에는 자주 언급되지 않는 버전이 하나 있다. 바로 에너지와 시간은 동시에 정확히 결정될 수 없다는 것이다. 수학 언어로 쓰면 ΔE·Δt ≥ h/4π이며, 여기서 h는 플랑크 상수다. 사람 말로 번역하면 이렇다. 어떤 시스템이 한 번의 ‘상태 전환’ — 즉 한 번의 계산 — 을 완료하는 데 필요한 최소 시간은, 그 시스템이 사용할 수 있는 에너지가 얼마나 되느냐에 달려 있다. 에너지가 클수록, 각 연산은 더 빨라질 수 있다.

세 번째는 앞의 두 가지를 하나로 조립하는 것이다. 1킬로그램의 물질이 최대 mc²만큼의 에너지를 제공하고, 각 연산에 최소 h/(4π·mc²)만큼의 시간이 필요하다면, 역수를 취하면 된다. 초당 최대 연산 횟수 = mc² / (h/4π) ≈ mc²/h. 상수 계수는 잠시 제쳐두면, 오더(order)는 바로 이것이다. c²를 h로 나눈 값, 약 10⁵⁰.

필자가 가장 훌륭하다고 느끼는 지점은 이것이다. 이것은 경험식이 아니며, 피팅 곡선도 아니고, 실험실에서 측정한 데이터 포인트를 이은 선도 아니다. 이것은 수없이 많은 실험으로 검증된 두 개의 물리적 철칙에서 나온 결과다. E=mc²가 옳다는 것을 인정하고, 불확정성 원리가 옳다는 것을 인정하기만 하면, 이 천장은 반드시 존재한다. 어떤 기술을 쓰든, 어떤 재료를 쓰든, 어떤 아키텍처를 쓰든 말이다.

Moore's Law: exponential growth of microprocessor transistor count 1970-2020 출처: Wikimedia Commons, Moore’s Law Transistor Count 1970-2020

연산의 ‘연료비’: 1비트를 지우는 데도 세금이 붙는다

Bremermann 한계가 ‘얼마나 빨리 달릴 수 있느냐’를 규정한다면, 1961년 또 다른 물리학자 롤프 란다우어(Rolf Landauer)가 발견한 원리는 ‘비용이 얼마나 드느냐’를 규정한다.

란다우어는 당시 IBM에서 일하고 있었다. 그가 던진 질문은 겉보기에 단순했다. 컴퓨터가 연산할 때 나오는 열은 어디서 오는가? 회로에 저항이 있으면 발열이 생긴다는 것은 이해하기 쉽다. 하지만 계산 행위 자체가 만들어내는 열이 존재하는가? 계산되는 데이터의 내용과도 무관하고, 회로 재료와도 무관하고, 공정의 첨단화 정도와도 무관한 그런 열 말이다.

답은 ‘존재한다’이다.

란다우어는 오늘날까지도 계속해서 검증되고 있는 결론 하나를 증명했다. 당신이 1비트의 정보를 지울 때마다, 적어도 kT·ln 2만큼의 에너지를 열의 형태로 환경에 배출해야만 한다. 여기서 k는 볼츠만 상수, T는 환경의 절대온도다. 상온(약 27°C)에서 이 값은 약 2.85 × 10⁻²¹ 줄이다. 믿을 수 없을 정도로 작지만, 결코 0이 아니다.

왜 정보를 ‘지우는’ 행위는 반드시 열을 발생시킬까? 이 배후에는 열역학 제2법칙이 있다. 고립계의 엔트로피는 감소할 수 없다는 법칙이다. 두 비트의 경로를 하나로 합치는 경우 — 예컨대 원래 값이 0이든 1이든 간에 모두 0으로 기록해 버리는 경우 — 이 과정에서 정보는 감소하고, 엔트로피는 증가하며, 열은 어떤 형태로든 밖으로 배출되어야 한다. 물리학자들은 이렇게 말하길 좋아한다. 정보는 공짜가 아니다. 연료와 같아서, 사용한 후에는 반드시 ‘폐열’이 남는다.

흥미로운 점은, 만약 계산이 완전히 가역적(reversible)이라면 — 모든 연산 단계마다 결과로부터 입력을 역추론할 수 있다면 — 이론적으로는 아무런 열도 발생시키지 않을 수 있다는 것이다. 이 통찰은 ‘가역 컴퓨팅(reversible computing)‘이라는 연구 분야를 탄생시켰다. 하지만 현실에서, 대부분의 연산 동작(덧셈, 비교, 논리 판단)은 정보를 버리기 때문에, 란다우어 원리는 거의 피할 수 없다.

Silicon chip — the arena where Bremermann's limit and Landauer's principle contend 출처: Unsplash, photo by Louis Reed

무어의 법칙의 끝은 종착역이 아니라, 첫 번째 톨게이트일 뿐이다

Bremermann 한계를 들은 많은 사람들의 첫 반응은 이렇다. 「10⁵⁰회? 지금 최고의 칩도 고작 10¹⁰회 수준인데, 무려 40자릿수나 차이가 나잖아. 뭐가 급해?」

이 반응 자체는 틀리지 않았다. 하지만 문제는 이거다. Bremermann 한계로 가는 길에, 우리가 처음으로 만나는 장애물이 바로 란다우어 원리와 그 공학적 사촌인 방열 문제라는 사실이다.

무어의 법칙은 지난 60년 동안 놀라운 성과를 보여주었다. 칩 위의 트랜지스터 수는 2년마다 두 배로 증가했다. 하지만 2005년 이후로, 프로세서의 클럭 주파수는 더 이상 상승하지 않고 있다. 오늘날 살 수 있는 최고의 데스크톱 CPU도 여전히 3~5GHz 사이에 머물러 있다. 15년 전과 크게 다르지 않다. 방열이 따라가지 못하는 것이다. 이것이 바로 엔지니어들이 클럭을 더 올리지 못하는 핵심 이유다. 주파수가 높을수록 소비 전력이 커지고, 열 밀도가 높아진다. 현대 CPU의 모든 트랜지스터를 동시에 풀스로 작동시키면, 그 단위 면적당 발열량은 이미 전기레인지의 열판을 넘어선다.

이것이 바로 ‘다크 실리콘(Dark Silicon)’ 현상이다. 칩 위에는 대량의 트랜지스터가 존재하지만, 동시에 전부 켤 수는 없다. 그랬다가는 칩이 스스로를 태워 버리기 때문이다.

Bremermann 한계가 상정하는 것은 ‘1킬로그램의 물질 전체를 완벽한 컴퓨터로 바꾸는 것’이다. 하지만 현실에서는, 여러분의 컴퓨터 안에 든 수백 그램의 실리콘, 구리선, 플라스틱 패키징 중에서 실제로 연산에 사용되는 트랜지스터는 전체 물질량의 극히 일부에 불과하다. 대부분의 질량과 에너지는 그냥 놀고 있거나, 열의 형태로 흩어져 버린다. 우리는 Bremermann 천장과는 아직 한참 멀리 떨어져 있지만, 란다우어 바닥에는 코앞까지 다가와 있다.

양자 컴퓨터는 이 규칙을 깰 수 있을까?

물리적 한계가 이야기될 때면 반드시 누군가 묻는다. 양자 컴퓨터는? 이 제한들을 우회할 수 있지 않을까?

답은 이렇다. 할 수 없다. 적어도 Bremermann이나 Landauer의 의미에서는 그렇다.

양자 컴퓨터는 확실히 대단하다. 중첩과 얽힘을 이용해, 특정한 종류의 문제(예: 큰 수의 소인수분해, 양자 화학 시뮬레이션)에서는 지수 함수적인 가속을 실현할 수 있다. 하지만 그렇다고 물리 법칙을 무시할 수 있다는 뜻은 아니다. 하나의 양자 비트(큐비트)도 역시 하나의 물질 덩어리이며, E=mc², 불확정성 원리, 열역학 제2법칙에 그대로 복종한다. Bremermann 한계는 모든 자체 포함적(self-contained) 물리 시스템의 최대 연산 속도를 규정하는 것이며, 양자 시스템도 예외가 아니다.

다만, 란다우어 원리 수준에서는 양자 컴퓨터에 흥미로운 가능성이 하나 있다. 양자 논리 게이트의 동작은 이론적으로 가역적일 수 있기 때문에(양자역학의 기본 진화 방정식은 시간 역전 아래에서 불변이다), 일부 연구자들은 양자 컴퓨터가 에너지 효율 측면에서 고전 컴퓨터를 훨씬 능가할 수 있다고 본다. 그러나 이것은 여전히 검증되지 않은 공학적 가설이며, 실용화까지는 아직 먼 길이 남아 있다.

솔직하게 말하면 이렇다. 양자 컴퓨터는 아마도 어떤 문제를 더 적은 단계로 풀 수 있게 해주겠지만, 동일한 질량의 물질 안에서 초당 10⁵⁰회를 초과하는 기본 연산을 수행할 수 있게 해주지는 않는다.

공학적 야망 vs. 물리적 철칙: 질 것이 뻔한 경기

필자가 생각하기에 이 일 전체에서 가장 극적인 긴장감을 주는 지점은, 인간의 공학적 야망과 물리적 철칙 사이의 비대칭성이다.

우리는 「충분히 노력하면 한계는 돌파할 수 있다」는 서사에 너무 익숙해져 있다. 1마일 4분 벽은 한때 불가능하다고 여겨졌으나 깨졌다. 음속의 벽도 넘을 수 없다고 했으나 넘어섰다. 이런 이야기가 반복되면서, 사람들은 어떤 ‘한계’든 일시적일 뿐이라는 착각에 빠지게 된다.

하지만 Bremermann 한계와 란다우어 원리는 그런 종류의 한계가 아니다.

이것들은 당신이 사용하는 재료가 충분히 좋지 않아서, 당신의 설계가 충분히 똑똑하지 않아서, 당신의 공정이 충분히 정밀하지 않아서 생긴 한계가 아니다. 이 한계들은 우주 구조 그 자체에서 비롯된 것이다. 광속 c, 플랑크 상수 h, 볼츠만 상수 k — 이 숫자들은 인간이 발명한 게 아니며, 인간이 수정할 수도 없다. 중력처럼, 우리가 살고 있는 이 우주의 ‘공장 출하 설정값’인 셈이다.

1962년 브레머만이 저 공식을 적었을 때, 집적회로는 고작 발명된 지 4년밖에 안 됐다. IBM의 최첨단 컴퓨터 System/360은 아직 출시조차 되지 않았다. 그는 오늘날의 칩이 어떻게 생겼을지 전혀 예측할 수 없었다. 하지만 그가 도출한 상한은, 오늘날 만들어진 어떤 칩에도 유효하고, 100년 후에 만들어진 어떤 칩에도 똑같이 유효할 것이다.

이것이 물리 법칙의 ‘무자비함’이다. 협상도 없고, 타협도 없고, 항변의 기회조차 주지 않는다.

하지만 뒤집어 생각하면, 이것은 사실 하나의 해방이기도 하다. 천장이 어디인지 알면, ‘우리가 영원히 못 따라잡으면 어쩌지’ 하는 불안에서 벗어날 수 있다. 천장은 저기 있고, 우리는 더 의미 있는 질문에 집중하면 된다. 천장에 도달하기 전까지, 우리는 얼마나 많은 재미있는 일을 더 할 수 있을까? 이 40자릿수의 공간 속에는, 우리가 아직 발명하지 못한 기술이 얼마나 더 숨어 있을까?

참고 링크

References（1）